Գծային տարածություն

Սահմանում

Գծային տարածություն կանվանենք $(L,+,\cdot )$ եռյակը, որտեղ $L$-ը ոչ դատարկ բազմություն է, որի վրա սահմանված են $+$ և $\cdot$ գործողությունները այնպես, որ

1. $\mathrm{\forall }x,y$-ի համար միարժեքորեն է սահմանված $x+y\in L$
   1. $x+y=y+x$
   2. $x+(y+z)=(x+y)+z$
   3. $\mathrm{\exists }0\in L$ այնպիսին, որ $\mathrm{\forall }x$-ի համար $x+0=x$
   4. $\mathrm{\forall }x$-ի համար $\mathrm{\exists }-x$ այնպիսին, որ $x+(-x)=0$
2. $\mathrm{\forall }\alpha$ թվի համար և $\mathrm{\forall }x\in L$ սահմանված է $\alpha x\in L$ արտադրյալը
   1. $\alpha (\beta x)=(\beta \alpha )x,\mathrm{\forall }\alpha \beta$ թվերի համար և $\mathrm{\forall }x\in L$
   2. $1\cdot x=x,\mathrm{\forall }x\in L$
   3. $(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x,\mathrm{\forall }\alpha \beta$ թվերի համար և $\mathrm{\forall }x\in L$
   4. $\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y,\mathrm{\forall }\alpha$ թվի համար և $\mathrm{\forall }x,y\in L$

Դիտողություն

Կախված թվերից կարող են լինել իրական գծային տարածություններ կամ կոմպլեքս գծային տարածություններ: գծային տարածության էլեմենտները կոչվում են վեկտորներ:

Օրինակներ

• Իրական թվերի բազմությունը՝ $ℝ$ սովորական $+$ և $\cdot$ գործողություններով գծային տարածություն է: