Դիտել Դիսկրետ էջի վիքիկոդը

Ապացուցել նույնությունը՝<br>
<math>\sum_{k=0}^n { 2n \choose k} k = n \cdot 2^{2n-1}</math>
<br><br>
Լուծում՝<br>
<math>\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k = (1+x)^n</math><br>
Ածանցելով վերեւի արտահայտությունը կստանանք՝<br>
<math>\sum_{k=0}^n {n \choose k} k x^{k-1} = n\cdot (1+x)^{n-1}</math><br>
x-ի տեղը տեղադրելով 1 կստանանք՝<br>
<math>\sum_{k=0}^n {n \choose k} k = n \cdot 2^{n-1}</math><br>
n-ի տեղն էլ տեղադրելով 2n կստանանք՝<br>
<math>\sum_{k=0}^{2n} {2n \choose k} k = 2n \cdot 2^{2n-1}</math><br>
<math>\sum_{k=0}^{2n} {2n \choose k} k = 0 \cdot {2n \choose 0} + 1 \cdot {2n \choose 1} + 2 \cdot {2n \choose 2} + \ldots + (n-1) \cdot {2n \choose n-1} + n \cdot {2n \choose n} + (n+1) \cdot {2n \choose n+1} + \ldots + 2n \cdot {2n \choose 2n}</math><br>
<math>0 \cdot {2n \choose 0} = 0</math><br>
<math>1 \cdot {2n \choose 1} \leftrightarrow 2n \cdot {2n \choose 2n}</math><br>
<math>2 \cdot {2n \choose 2} \leftrightarrow (2n-1) \cdot {2n \choose 2n-1}</math><br>
<math>3 \cdot {2n \choose 3} \leftrightarrow (2n-2) \cdot {2n \choose 2n-2}</math><br>
<math>\begin{cases} 1 \cdot {2n \choose 1} = 2n \\ 2n \cdot {2n \choose 2n} = 2n \end{cases}</math><br>
<math>\begin{cases} 2 \cdot {2n \choose 2} = \frac{2 \cdot (2n)!}{2 \cdot (2n-2)!} = 2n(2n-1) \\ (2n-1) \cdot {2n \choose 2n-1} = \frac{(2n-1) \cdot (2n)!}{(2n-1)!} = 2n(2n-1) \end{cases}</math><br>
<math>\begin{cases} 3 \cdot {2n \choose 3} = \frac{3 \cdot (2n)!}{3! \cdot (2n-3)!} = n(2n-1)(2n-2) \\ (2n-2) \cdot {2n \choose 2n-2} = \frac{(2n-2) \cdot (2n)!}{(2n-2)! \cdot 2!} = n(2n-1)(2n-2) \end{cases}</math><br>
<math>\sum_{k=0}^{2n} {2n \choose k} k = 2 \sum_{k=0}^n {2n \choose k} k</math><br>
<math>\sum_{k=0}^n {2n \choose k} k = n \cdot 2^{2n-1}</math>

[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկա]]