Դիսկրետ

Ապացուցել նույնությունը՝
$\sum_{k = 0}^{n} (\binom{2 n}{k}) k = n \cdot 2^{2 n - 1}$

Լուծում՝
$\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} = (1 + x)^{n}$
Ածանցելով վերեւի արտահայտությունը կստանանք՝
$\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) k x^{k - 1} = n \cdot (1 + x)^{n - 1}$
x-ի տեղը տեղադրելով 1 կստանանք՝
$\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) k = n \cdot 2^{n - 1}$
n-ի տեղն էլ տեղադրելով 2n կստանանք՝
$\sum_{k = 0}^{2 n} (\binom{2 n}{k}) k = 2 n \cdot 2^{2 n - 1}$
$\sum_{k = 0}^{2 n} (\binom{2 n}{k}) k = 0 \cdot (\binom{2 n}{0}) + 1 \cdot (\binom{2 n}{1}) + 2 \cdot (\binom{2 n}{2}) + \dots + (n - 1) \cdot (\binom{2 n}{n - 1}) + n \cdot (\binom{2 n}{n}) + (n + 1) \cdot (\binom{2 n}{n + 1}) + \dots + 2 n \cdot (\binom{2 n}{2 n})$
$0 \cdot (\binom{2 n}{0}) = 0$
$1 \cdot (\binom{2 n}{1}) \leftrightarrow 2 n \cdot (\binom{2 n}{2 n})$
$2 \cdot (\binom{2 n}{2}) \leftrightarrow (2 n - 1) \cdot (\binom{2 n}{2 n - 1})$
$3 \cdot (\binom{2 n}{3}) \leftrightarrow (2 n - 2) \cdot (\binom{2 n}{2 n - 2})$
${\begin{matrix} 1 \cdot (\binom{2 n}{1}) = 2 n \\ 2 n \cdot (\binom{2 n}{2 n}) = 2 n \end{matrix}$
${\begin{matrix} 2 \cdot (\binom{2 n}{2}) = \frac{2 \cdot (2 n)!}{2 \cdot (2 n - 2)!} = 2 n (2 n - 1) \\ (2 n - 1) \cdot (\binom{2 n}{2 n - 1}) = \frac{(2 n - 1) \cdot (2 n)!}{(2 n - 1)!} = 2 n (2 n - 1) \end{matrix}$
${\begin{matrix} 3 \cdot (\binom{2 n}{3}) = \frac{3 \cdot (2 n)!}{3! \cdot (2 n - 3)!} = n (2 n - 1) (2 n - 2) \\ (2 n - 2) \cdot (\binom{2 n}{2 n - 2}) = \frac{(2 n - 2) \cdot (2 n)!}{(2 n - 2)! \cdot 2!} = n (2 n - 1) (2 n - 2) \end{matrix}$
$\sum_{k = 0}^{2 n} (\binom{2 n}{k}) k = 2 \sum_{k = 0}^{n} (\binom{2 n}{k}) k$
$\sum_{k = 0}^{n} (\binom{2 n}{k}) k = n \cdot 2^{2 n - 1}$

Դիսկրետ

Նավարկման ցանկ

Որոնում