Դիտել Մաթ. Անալիզ/2-րդ կուրս/Ֆուրյեի շարքեր, էյլեր-ֆուրյեի բանաձևը էջի վիքիկոդը

=== Ֆուրյեի շարքեր: Էյլեր-ֆուրյեի բանաձևերը: ===


'''Թեորեմ:'''

Դիցուք

<math>f(x) = {{a_0 } \over 2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty  {a_n \cos nx + b_n \sin nx} </math>

և աջ կողմի շարքը հավասարաչափ զուգամետ է <math>x \in \left[ { - \pi ,\pi } \right]</math>-ում: Այդ դեպքում տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը.

<math>a_0  = {1 \over \pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi  {f(x)dx} ,</math>

<math>a_n  = {1 \over \pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi  {f(x)\cos nxdx} ,</math>

<math>b_n  = {1 \over \pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi  {f(x)\sin nxdx} ,</math>

<math>\forall n = 1,2,... :</math>


'''Ապացույց:'''

Քանի որ աջ կողմում գրված շարքը հավասարաչափ զուգամետ է <math>\left[ { - \pi ,\pi } \right]</math>-ում և նրա բոլոր անդամները անընդհատ ֆունկցիաներ են այդ հատվածում, ապա ըստ ֆունկցիոնալ շարքերի գումարի անընդհատության `<math>f(x)</math> ֆունկցիան կլինի ևս անընդհատ այդ հատվածում, իսկ շարքը` անդամ առ անդամ ինտեգրելի <math>\left[ { - \pi ,\pi } \right]</math>-ում:

<math>\int\limits_{ - \pi }^\pi  {f(x)dx}  = \int\limits_{ - \pi }^\pi  {{{a_0 } \over 2}dx}  + \sum\limits_{n = 1}^\infty  {a_n \int\limits_{ - \pi }^\pi  {\cos nxdx}  + b_n \int\limits_{ - \pi }^\pi  {\sin nxdx}  = } a_0 \pi :</math>

Այսպիսով մենք ապացուցեցինք առաջին բանաձևը: Այժմ սկզբնական շարքը անդամ առ անդամ բազմապատկենք <math>\cos nx</math> և <math>\sin nx</math> ֆունկցիաներով: 

{| cellspacing="0" cellpadding="5" style="border: solid 1px #C6C9FF"
| bgcolor="#FFFFFF" |

Դիցուք տրված է հավասարաչափ զուգամետ <math>\sum\limits_{n = 1}^\infty  {f_n (x)} </math> շարքը: Ապացուցենք, որ <math>\cos kx\sum\limits_{n = 1}^\infty  {f_n (x)} </math> շարքը ևս կլինի հավասարաչափ զուգամետ, օգտվելով Կոշիի հավասարաչափ զուգամիտության հայտանիշից.

<math>\left| {\sum\limits_{i = n + 1}^{n + p} {f_i (x)\cos kx} } \right| \le \left| {\cos kx} \right|\left| {\sum\limits_{i = n + 1}^{n + p} {f_i (x)} } \right| \le \left| {\sum\limits_{i = n + 1}^{n + p} {f_i (x)} } \right| < \varepsilon </math>

|}

Ստացված շարքերը ևս կլինեն հավասարաչափ զուգամետ <math>\left[ { - \pi ,\pi } \right]</math>-ում, հետևաբար անդամ առ անդամ ինտեգրելով և կիրառելով օրթոգոնալության հատկությունը կստանանք`

<math>\int\limits_{ - \pi }^\pi  {f(x)\cos nxdx}  = {{a_0 } \over 2}\int\limits_{ - \pi }^\pi  {\cos nxdx}  + \sum\limits_{n = 1}^\infty  {a_n \int\limits_{ - \pi }^\pi  {\cos nx\cos nxdx}  + } b_n \int\limits_{ - \pi }^\pi  {\sin nx\cos nxdx}  = a_n \int\limits_{ - \pi }^\pi  {\cos ^2 nxdx}  = a_n \pi </math>

Նույնաբար կստացվի և երրորդ բանաձևը:

[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկա]]