Մաթ. Անալիզ/2-րդ կուրս/Ֆուրյեի շարքեր, էյլեր-ֆուրյեի բանաձևը

Ֆուրյեի շարքեր: Էյլեր-ֆուրյեի բանաձևերը:

Թեորեմ:

Դիցուք

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\cos nx+b_n\sin nx$

և աջ կողմի շարքը հավասարաչափ զուգամետ է $x\in \left[-\pi ,\pi \right]$-ում: Այդ դեպքում տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը.

$a_0=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)dx,$

$a_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\cos nxdx,$

$b_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\sin nxdx,$

$\mathrm{\forall }n=1,2,\mathrm{...}:$

Ապացույց:

Քանի որ աջ կողմում գրված շարքը հավասարաչափ զուգամետ է $\left[-\pi ,\pi \right]$-ում և նրա բոլոր անդամները անընդհատ ֆունկցիաներ են այդ հատվածում, ապա ըստ ֆունկցիոնալ շարքերի գումարի անընդհատության `$f(x)$ ֆունկցիան կլինի ևս անընդհատ այդ հատվածում, իսկ շարքը` անդամ առ անդամ ինտեգրելի $\left[-\pi ,\pi \right]$-ում:

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)dx=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\frac{a_0}{2}dx+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos nxdx+b_n\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\sin nxdx=a_0\pi :$

Այսպիսով մենք ապացուցեցինք առաջին բանաձևը: Այժմ սկզբնական շարքը անդամ առ անդամ բազմապատկենք $\cos nx$ և $\sin nx$ ֆունկցիաներով:

Դիցուք տրված է հավասարաչափ զուգամետ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ շարքը: Ապացուցենք, որ $\cos kx\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ շարքը ևս կլինի հավասարաչափ զուգամետ, օգտվելով Կոշիի հավասարաչափ զուգամիտության հայտանիշից. $\left|\sum _{i=n+1}^{n+p}{f}_i(x)\cos kx\right|\le \left|\cos kx\right|\left|\sum _{i=n+1}^{n+p}{f}_i(x)\right|\le \left|\sum _{i=n+1}^{n+p}{f}_i(x)\right|<\epsilon$

Ստացված շարքերը ևս կլինեն հավասարաչափ զուգամետ $\left[-\pi ,\pi \right]$-ում, հետևաբար անդամ առ անդամ ինտեգրելով և կիրառելով օրթոգոնալության հատկությունը կստանանք`

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\cos nxdx=\frac{a_0}{2}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos nxdx+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos nx\cos nxdx+b_n\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\sin nx\cos nxdx=a_n\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\cos }^{2}nxdx=a_n\pi$

Նույնաբար կստացվի և երրորդ բանաձևը: