Ասիմպտոտիկ սիմվոլներ

Սահմանումներ

Դիցուք $f,g:E\to ℝ$ կամ $ℂ$ և $a$-ն $E$-ի կուտակման կետ է

• Կասենք $f$-ը օ փոքր $g$ է՝$f(x)=o(g(x))$, երբ $x\to a,x\in E$, եթե $\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=0$:
• Կասենք $f$-ը օ մեծ $g$ է՝$f(x)=O(g(x))$, երբ $x\in E$, եթե $\mathrm{\exists }C>0$, որ $\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|\le C,\mathrm{\forall }x\in E$:
• Կասենք $f$-ը օ մեծ $g$ է՝$f(x)=O(g(x))$, երբ $x\to a,x\in E$, եթե $\mathrm{\exists }{U}_{\delta }(a)$ շրջակայք այնպիսին,

որ $f(x)=O(g(x))$ երբ $x\in U_{\delta }(a)\bigcap E$:

• Կասենք $f$-ը համարժեք է $g$-ին՝$f(x)\sim g(x)$, երբ $x\to a,x\in E$, եթե $\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=1$:
• Կասենք $f$-ը և $g$-ն նույն կարգի են՝$f(x)\asymp g(x)a$ կետում, եթե $\mathrm{\exists }{U}_{\delta }(a)$ շրջակայք այնպիսին, որ $f(x)=O(g(x))$ և $f(x)=O(g(x))$, երբ $x\in U_{\delta }(a)\bigcap E$:

Օրինակներ

• • Մասնավորապես $f(x)=o(1)$ նշանակում է, որ $f$-ը անվերջ փոքր է $a$ կետում
  • $\sin z=o(z)$, երբ $z\to 0$
  • $\ln x=o(x^{\alpha })$, երբ $x\to +\mathrm{\infty }(\mathrm{\forall }\alpha >0)$
  • $\ln x=o(\frac{1}{x^{\alpha }})$, երբ $x\to +0(\mathrm{\forall }\alpha >0)$
  • $(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+o(x)$, երբ $x\to 0(\mathrm{\forall }\alpha \in ℝ)$
  • $e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+o(z^2)$, երբ $z\to 0$
  • $\ln n!=n\ln n+o(n\ln n)$, երբ $n\to \mathrm{\infty }$
  • Դիցուք $\pi (x)$ ֆունկցիան հավասար է $x>0$ չգերազանցող պարզ թվերի քանակին, այդ դեպքում

$\pi (x)\to +\mathrm{\infty }$, երբ $x\to +\mathrm{\infty }$

և

$\pi (x)=\frac{x}{\ln x}+o(\frac{x}{\ln x})$, երբ $x\to +\mathrm{\infty }$

• • Մասնավորապես $f(x)=O(1)$ նշանակում է, որ $f$-ը սահմանափակ է $U_{\delta }(a)\bigcap E$ բազմության վրա
  • $\sin z=O(z)$, երբ $|z|<1$
  • $\sin x=O(x)$, երբ $x\in ℝ$, բայց երբ $z\in ℂ\sin z\ne O(z)$
  • $e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+O(z^3)$, երբ $z\to 0$
  • $\ln n!=n\ln n+O(n)$, երբ $n\to \mathrm{\infty }$
• • $\sin z\sim z$, երբ $z\to 0$
  • $\sin z\sim z+z^2$, երբ $z\to 0$
  • Էյլերի գամմա ֆունկցիայի` $\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt,x>0$ համար

$\mathrm{\Gamma }(x+1)=\sqrt{2\pi x}{\left(\frac{x}{e}\right)}^x(1+O(\frac{1}{x}))$, երբ $x\to +\mathrm{\infty }$

կամ

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!=\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n(1+O(\frac{1}{n}))$, երբ $n\to +\mathrm{\infty }$,

որտեղից հեշտ ստացվում է Ստիրլինգի բանաձևը՝

$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$

և

$n!\asymp \frac{n^{n+\frac{1}{2}}}{e^n}$

• $f(x)=\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{e^t}{t^{\alpha }}dt,g(x)=\frac{e^x}{x^{\alpha }},\alpha \in ℝ$

$f\sim g$, երբ $x\to +\mathrm{\infty }$

իրոք $f(x)\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty }$ և ըստ Լոպիտալի կանոնի $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{e^t}{t^{\alpha }}dt}{\frac{e^x}{x^{\alpha }}}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{e^x}{x^{\alpha }}}{\frac{e^x}{x^{\alpha }}-\frac{\alpha e^x}{x^{\alpha +1}}}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{1-\frac{\alpha }{x}}=1$

Հատկություններ

• $f\sim g\Rightarrow f\asymp g$
• $\mathrm{\forall }f(x),g(x)$ ֆունկիցիանների համար,որոնք որոշված են $x=a$ կետի ինչ-որ շրջակայքում, և $\mathrm{\forall }C\in ℝ$, երբ $x\to a,x\in E$, ապա
  • $o(f)+o(f)=o(f)$
  • $o(f)+O(f)=O(f)$
  • $O(f)+O(f)=O(f)$
  • $o(f)\cdot o(g)=o(f\cdot g)$
  • $o(f)\cdot O(g)=o(f\cdot g)$
  • $o(Cf))=o(f)$
  • $O(Cf)=O(f)$
  • $o(o(f))=o(f)$
  • $o(O(f))=o(f)$
  • $O(o(f))=o(f)$