Ինտեգրալների ասիմպտոտական գնահատականներ

Թեորեմ 1

Դիցուք $f(x),g(x)\in 𝐂[a,b)$, $g(x)>0\mathrm{\forall }x\in [a,b)$ և $\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx=+\mathrm{\infty }$ Այդ դեպքում՝

1) եթե $f(x)=O(g(x))$, երբ $x\to b-0$, ապա

$\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt=O\left(\underset{a}{\overset{x}{\int }}g(t)dt\right)$, երբ $x\in [a,b)$;

2) եթե $f(x)=o(g(x))$, երբ $x\to b-0$, ապա

$\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt=o\left(\underset{a}{\overset{x}{\int }}g(t)dt\right)$, երբ $x\to b-0$;

3) եթե $f(x)\sim g(x)$, երբ $x\to b-0$, ապա

$\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt\sim \underset{a}{\overset{x}{\int }}g(t)dt$, երբ $x\to b-0$;

$▾$

1) եթե $f(x)=O(g(x))$, երբ $x\to b$, ապա $\mathrm{\exists }\delta >0$ և $\mathrm{\exists }{C}_1>0$, որ

$|f(x)|\le C_{1}g(x)\mathrm{\forall }x\in (b-\delta ,b)$

և քանի որ $f(x)$ և $g(x)$ֆունկցիանները անընդհատ են $[a,b-\delta ]$փակ հատվածի վրա, ապա սահմանափակ են, որտեղից

$\mathrm{\exists }{C}_2>0st|f(x)|\le C_{2}g(x)\mathrm{\forall }x\in [a,b-\delta ]$

Եթե $C\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}max(C_1,C_2)$, ապա կունենանք

$|f(x)|\le Cg(x)\mathrm{\forall }x\in [a,b)$

որտեղից

$\left|\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt\right|\le \underset{a}{\overset{x}{\int }}|f(t)|dt\le C\underset{a}{\overset{x}{\int }}g(t)dt\mathrm{\forall }x\in [a,b)$

այսինքն

$\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt=O\left(\underset{a}{\overset{x}{\int }}g(t)dt\right)$:

2)Եթե $f(x)=o(g(x))$, երբ $x\to b-0$, ապա ըստ սահմանման $\underset{x\to b}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=0$

եթե $\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(t)|dt=+\mathrm{\infty }$, ապա ըստ Լոպիտալի կանոնի

$\underset{x\to b-0}{lim}\frac{\left|\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt\right|}{\underset{a}{\overset{x}{\int }}g(t)dt}\le \underset{x\to b-0}{lim}\frac{|f(x)|}{g(x)}=0$

հակառակ դեպքում

$\underset{x\to b-0}{lim}\frac{\left|\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt\right|}{\underset{a}{\overset{x}{\int }}g(t)dt}\le \underset{x\to b-0}{lim}\frac{\underset{a}{\overset{x}{\int }}|f(t)|dt}{\underset{a}{\overset{x}{\int }}g(t)dt}\le C\underset{x\to b-0}{lim}\frac{1}{\underset{a}{\overset{x}{\int }}g(t)dt}=0$:

3)Եթե $f(x)\sim g(x)$, երբ $x\to b-0$, ապա $\underset{x\to b}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=1$