Մաթ. Անալիզ/2-րդ կուրս/Եռանկյունաչափական շարքեր, եռանկյունաչափական շարքերի հատկությունները

Եռանկյունաչափական շարքեր: Եռանկյունաչափական շարքերի հատկությունները:

Սահմանում:

Հետևյալ տեսքի շարքը`

$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\cos nx+b_n\sin nx$,

որտեղ ${\left\{a_n\right\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ և ${\left\{b_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ թվային հաջորդականություններ են, կոչվում է եռանկյունաչափական շարք: Շարքի անդամները ստացվում են $cosnx$, $sinnx$ ֆունկցիաները թվերով բազմապատկելով: Այս ֆունկցիաների հաջորդականությունը կոչվում է եռանկյունաչափական համակարգ:

Լեմմա:

Եռանկյունաչափական համակարգը ունի հետևյալ հատկությունները.

1. Օրթոգոնալության հատկություն:

ա) $\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos kx\cos mxdx=0,$     $k\ne m,$

բ) $\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos kx\sin mxdx=0,$     $\cos kx\ne \sin mx$

գ) $\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\sin kx\sin mxdx=0,$     $k\ne m:$

2. Նորմավորվածության հատկություն:

ա) $\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\cos }^{2}kxdx=1,$

բ) $\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{2}kxdx=1:$

Ապացույց:

1. ա) $\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos kx\cos mxdx=\frac{1}{2}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\left[\cos (k+m)x+\cos (k-m)x\right]dx=\frac{1}{2}{\left[\frac{\sin (k+m)x}{k+m}+\frac{\sin (k-m)x}{k-m}\right]|}_{-\pi }^{\pi }=0$

2. ա) $\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\cos }^{2}kxdx=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\frac{1+\cos 2kx}{2}dx=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}dx+\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos 2kxdx=1+{\frac{\sin 2kx}{4\pi k}|}_{-\pi }^{\pi }=1$

--Ruben 12:41, 9 Փետրվար 2006 (UTC)