Մաթ. Անալիզ/2-րդ կուրս/Լոկալիզացիայի սկզբունքը

Ռիմանի թեորեմը լոկալիզացիայի սկզբունքի մասին:

Դիցուք $f(x)$ ֆունկցիան ինտեգրելի է իսկական իմաստով կամ բացարձակ ինտեգրելի է անիսկական իմաստով $[-\pi ;\pi ]$ միջակայքում, ընդ որում` $f(\pi )=f(-\pi )$: $f(x)$ ֆունկցիայի Ֆուրյեի շարքի զուգամիտությունը և գումարի արժեքը կախված է հետևյալ սահմանից.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\delta }{\int }}\sin (2n+1)\frac{u}{2}\cdot \frac{f(x_0+u)+f(x_0-u)}{\sin \frac{u}{2}}du$:

Եթե այն գոյություն ունի, ապա Ֆուրյեի շարքի գումարը հենց դա է, ընդ որում`

$x\in \left(x_0-\delta ,x_0+\delta \right);\mathrm{\forall }\delta >0$:

Մնացած կետերում արժեքները դեր չեն խաղում:

Ապացույց.

$f(x)$ ֆունկցիան պարբերական շարունակենք ամբողջ թվային առանցքի վրա: Դիրիխլեյի ինտեգրալի մեջ կատարենք փոփոխականի փոխարինում`

$u=t-x,$
$S_n(x_0,f)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)D_n(t-x_0)dt=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi -x_0}{\overset{\pi -x_0}{\int }}f(x_0+u)D_n(u)du=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x_0+u)D_n(u)du:$

Եթե տրված է $T$ պարբերությամբ $F(t)$ ֆունկցիա, ապա. $\underset{a}{\overset{a+T}{\int }}F(t)dt=\underset{b}{\overset{b+T}{\int }}F(t)dt$: Ապացույց. նշանակենք $u=t-T$: Կունենանք` $\underset{a}{\overset{a+T}{\int }}F(t)dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}F(t)dt+\underset{b}{\overset{b+T}{\int }}F(t)dt+\underset{b+T}{\overset{a+T}{\int }}F(t)dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}F(t)dt+\underset{b}{\overset{b+T}{\int }}F(t)dt+\underset{b}{\overset{a}{\int }}F(u+T)dt=\underset{b}{\overset{b+T}{\int }}F(t)dt$:

Հավասարության աջ մասը ներկայացնելով երկու ինտեգրալների գումարի տեսքով, առաջին ինտեգրալի մեջ կատարելով $y=-u$ փոփոխականի փոխարինում, և հաշվի առնելով Դիրիխլեյի կորիզի զույգությունը` $D_n(-u)=D_n(-u)$, կստանանք`

$S_n(x_0,f)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{0}{\int }}f(x_0+u)D_n(u)du+\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}f(x_0+u)D_n(u)du=$ $=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}f(x_0-y)D_n(y)dy+\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}f(x_0+u)D_n(u)du=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{D}_n(u)\frac{f(x_0+u)+f(x_0-u)}{2}du$:

Ստացված արտահայտության մեջ տեղադրելով Դիրիխլեի կորիզի արժեքը, կստանանք`

$S_n(x_0,f)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin (2n+1)\frac{u}{2}\cdot \frac{\left[f(x_0+u)+f(x_0-u)\right]}{2\sin \frac{u}{2}}du$:

Այժմ ֆիքսենք որևէ $\delta ,0<\delta <\pi$ թիվ, և ստացված հավասարության աջ մասը ներկայացնենք երկու ինտեգրալների գումարի տեսքով`

$S_n(x_0,f)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\delta }{\int }}\sin (2n+1)\frac{u}{2}\cdot \frac{\left[f(x_0+u)+f(x_0-u)\right]}{2\sin \frac{u}{2}}du+\frac{1}{\pi }\underset{\delta }{\overset{\pi }{\int }}\sin (2n+1)\frac{u}{2}\cdot \frac{\left[f(x_0+u)+f(x_0-u)\right]}{2\sin \frac{u}{2}}du$:

Քանի որ $\frac{1}{2\sin \frac{u}{2}}$ ֆունկցիան անընդհատ է, և, հետևաբար, նաև սահմանափակ $\left[\delta ,\pi \right]$ հատվածի վրա,

Պատկեր:Gr sin.gif

իսկ $f(x_0+u)+f(x_0-u)$ ֆունկցիան` ցանկացած $x\in \left[-\pi ;\pi \right]$ դեպքում $2\pi$ պարբերական է և ինտեգրելի` ըստ $u$-ի $x\in \left[-\pi ;\pi \right]$ միջակայքում, ապա ինտեգրելի կլինի նաև նրանց արտադրյալը`

$\frac{f(x_0+u)+f(x_0-u)}{2\sin \frac{u}{2}}$,

$\left[\delta ,\pi \right]$ հատվածի վրա: Հետևաբար, համաձայն Ռիմանի լեմմայի`

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{\delta }{\overset{\pi }{\int }}\sin (2n+1)\frac{u}{2}\cdot \frac{\left[f(x_0+u)+f(x_0-u)\right]}{2\sin \frac{u}{2}}du=0$:

Թեորեմը ապացուցված է՛: -357-